റിച്ചി കർവേച്ചർ (Ricci Curvature)

 

റിച്ചി കർവേച്ചർ (Ricci Curvature) എന്നത് ഐൻസ്റ്റീന്റെ പൊതു ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തത്തിലും (General Relativity) ഡിഫറൻഷ്യൽ ജോമെട്രിയിലും വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു ആശയമാണ്. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഉപരിതലം അല്ലെങ്കിൽ സ്പേസ് (Space) എത്രത്തോളം വളഞ്ഞിരിക്കുന്നു എന്നും അത് ദ്രവ്യത്തിന്റെ (Matter) സാന്നിധ്യത്തിൽ എങ്ങനെ മാറുന്നു എന്നും ഇത് അളക്കുന്നു.

സാധാരണ പരന്ന ഉപരിതലത്തിൽ (Flat Surface) രണ്ട് സമാന്തര രേഖകൾ (Parallel lines) ഒരിക്കലും കൂട്ടിമുട്ടില്ല. എന്നാൽ ഒരു വളഞ്ഞ ഉപരിതലത്തിൽ (ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു പന്ത് അല്ലെങ്കിൽ ഗ്ലോബ്), ഈ രേഖകൾ ഒന്നുകിൽ അടുത്തേക്ക് വരികയോ അല്ലെങ്കിൽ അകന്നു പോവുകയോ ചെയ്യും.

ഒരു നിശ്ചിത വോളിയം (Volume) ഉള്ള ഒരു വസ്തു ഒരു വക്രതയുള്ള സ്പേസിലൂടെ സഞ്ചരിക്കുമ്പോൾ അതിന്റെ ആകൃതിയിലോ വലിപ്പത്തിലോ ഉണ്ടാകുന്ന മാറ്റത്തെ റിച്ചി കർവേച്ചർ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, റിച്ചി കർവേച്ചർ (R_{\mu\nu}) ഐൻസ്റ്റീന്റെ ഫീൽഡ് ഇക്വേഷന്റെ (Einstein Field Equations) പ്രധാന ഭാഗമാണ്:

 ബഹിരാകാശത്തെ ദ്രവ്യവും ഊർജ്ജവും  എങ്ങനെയാണ് സ്ഥലകാലത്തെ (Space-time) വളയ്ക്കുന്നത് എന്ന് ഈ സമവാക്യം പറയുന്നു. ഇവിടെ റിച്ചി കർവേച്ചറാണ് ഈ വളവിനെ അളക്കുന്നത്.

ഒരു വലിയ റബ്ബർ ഷീറ്റ് സങ്കൽപ്പിക്കുക. അതിൽ ഭാരമുള്ള ഒരു പന്ത് വെച്ചാൽ ഷീറ്റ് താഴേക്ക് കുഴിയും (വളയും). ഈ വളവിനെ നമുക്ക് റിച്ചി കർവേച്ചർ ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കാം.പന്തിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭാഗത്ത് സ്പേസിന്റെ വോളിയം മാറുന്ന രീതിയാണ് ഇതിലൂടെ മനസ്സിലാക്കുന്നത്.

ഒരു പന്തിന്റെ (Sphere) വോളിയം സാധാരണ യൂക്ലിഡിയൻ സ്പേസിലുള്ളതിനേക്കാൾ കുറവാണോ അതോ കൂടുതലാണോ എന്ന് ഇത് കാണിച്ചുതരുന്നു.പ്രപഞ്ചത്തിൽ ഗുരുത്വാകർഷണം അനുഭവപ്പെടുന്നത് സ്ഥലകാലത്തിന് റിച്ചി കർവേച്ചർ ഉള്ളതുകൊണ്ടാണ്.

ചുരുക്കത്തിൽ, പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയമായ രൂപം (Geometry) ദ്രവ്യം കാരണം എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു എന്ന് കണക്കാക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര അളവുകോലാണ് 

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഇതിനെ കൂടുതൽ ആഴത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാൻ, *റിച്ചി ടെൻസർ (R_{\mu\nu})* എന്ന സങ്കല്പം നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഇത് എങ്ങനെയാണ് സ്പേസ്-ടൈം വക്രതയെ അളക്കുന്നത് എന്ന് നോക്കാം:

ഒരു സാധാരണ ഫ്ലാറ്റ് സ്പേസിൽ (Euclidean Space) ഒരു പന്തിന്റെ (Sphere) വോളിയം കണക്കാക്കുന്നത് V = 4/3pi r^3 എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ്. എന്നാൽ സ്പേസ് വളഞ്ഞിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ (Curved Space), ഈ വോളിയത്തിൽ ചെറിയ മാറ്റങ്ങൾ സംഭവിക്കും.

റിച്ചി കർവേച്ചർ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ആ ഭാഗത്തെ വോളിയം സാധാരണയേക്കാൾ കുറവായിരിക്കും. നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ വോളിയം കൂടുതലായിരിക്കും.

രണ്ട് വസ്തുക്കൾ ഗുരുത്വാകർഷണ ബലത്താൽ പരസ്പരം അടുത്തേക്ക് വരുന്നത് നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ടാകും. സ്പേസ്-ടൈമിലൂടെയുള്ള ഏറ്റവും നേരായ പാതയെയാണ് *ജിയോഡെസിക് (Geodesic)* എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.

സമാന്തരമായി തുടങ്ങുന്ന രണ്ട് പാതകൾ (Geodesics) പരസ്പരം അടുത്തേക്ക് വരുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന് ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിലെ രേഖകൾ ദ്രുവങ്ങളിൽ മുട്ടുന്നത് പോലെ).പാതകൾ സമാന്തരമായി തന്നെ തുടരുന്നു (Flat Space).

റിച്ചി കർവേച്ചർ യഥാർത്ഥത്തിൽ *റീമാൻ കർവേച്ചർ ടെൻസറിന്റെ (Riemann Curvature Tensor)* ഒരു ചുരുങ്ങിയ രൂപമാണ് (Contraction). ഐൻസ്റ്റീന്റെ ഫീൽഡ് ഇക്വേഷനിൽ ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, ഒരു നിശ്ചിത ദിശയിലുള്ള സ്ഥലകാലത്തിന്റെ "വലിവ്" അല്ലെങ്കിൽ "അമർച്ച" (Tidal forces) ആണ്. ദ്രവ്യം (Matter) ഉള്ള സ്ഥലങ്ങളിൽ റിച്ചി ടെൻസർ പൂജ്യമല്ലായിരിക്കും (R_{\mu\nu} \neq 0). എന്നാൽ ദ്രവ്യം ഇല്ലാത്ത ശൂന്യമായ സ്ഥലങ്ങളിൽ (Vacuum), റിച്ചി ടെൻസർ പൂജ്യമായിരിക്കും, എങ്കിലും അവിടെ *വൈൽ കർവേച്ചർ (Weyl Curvature)* കാരണം ഗുരുത്വാകർഷണ തരംഗങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം.